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Verallgemeinerung: Mehrdimensionale Gruppen

Wenn Sie die Beschreibungen der Lösungsverfahren aufmerksam gelesen haben, ist Ihnen vielleicht aufgefallen, daß sich einige der Methoden in Methodenfamilien zusammenfassen lassen. Daher ist es naheliegend ihre Regularien in eine abstrakte, verallgemeinerte Form zu bringen, damit sie universell einsetzbar werden.

Zunächst einige Begriffsdefinitionen:
Dimension - gemeint ist die Seitenlänge des Rätsels. Die Dimension muß immer eine Quadratzahl sein.
Zeichensatz - gemeint ist der Symbol-Zeichensatz des Rätsels. Er enthält immer dimension Symbole.
BSize - die Blockgröße. Gemeint ist die Seitenlänge der inliegenden Quadrate. Sie ist immer die Wurzel der Dimension.
Logische Einheit - ist die allgemeine Bezeichnung für Zeilen, Spalten und Blöcke. Also jene logischen Einheiten, die jedes Symbol des Zeichensatzes genau einmal enthalten müssen. Gelegentlich gibt es Rätsel, bei denen die Diagonalen ebenfalls als logische Einheiten gelten.
Ordnung - die Ordnungszahl einer Gruppe. 2ter Ordnung wäre ein Zwilling, 3ter Ordnung wäre ein Drilling etc. In diesem Zusammenhang ist mit Ordnung die Anzahl der Zeilen oder Spalten gemeint, die für das Muster gebraucht werden.

Hier die allgemeine Formulierung der Kriterien für mehrdimensionale Gruppen bezogen auf einen zeilenorientierten Blickwinkel:
Gesucht werden Ordnung Zeilen, die den Kandidaten x genau zweimal enthalten. Dabei verteilen sich die Fundstellen für x insgesamt auf genau Ordnung Spalten. Wenn dem so ist, kann x aus allen Feldern der Spalten gelöscht werden, die nicht zu den Zeilen gehören.
(Anmerkung: Die regelmäßige Verteilung der Fundstellen auf die Spalten, bei der jede Spalte ihrerseits genau zwei Fundstellen für x aufweist, gehört zwar nicht zum Regularium für das Muster, ist aber gewöhnlich die Vorraussetzung dafür, daß der Einsatz des Musters sinnvoll ist. Eine unregelmäßige Verteilung impliziert einfachere Lösungswege.)

Wenn man sich schon die Mühe macht die Methodik zu abstrahieren und zu verallgemeinern, scheint es nötig auch kurz zu beleuchten inwieweit ihr Einsatz sinnvoll ist.
Technische Analysen legen die Einschätzung nahe, daß die Muster dieser Familie per se nur selten auftreten. Auf Grund ihrer Komplexität scheint das logisch. Zudem werden sie bei steigender Dimension schnell seltener. Als natürliche Grenze kann auch hier der Schwellenwert (½ * Dimension) angesehen werden, weil sich die mehrdimensionalen Gruppen ebenso komplementär verhalten wie die versteckten/nackten Gruppen.

Bei der Diskussion ihrer Sinnhaftigkeit, ist es schnell verlockend darüber nachzudenken, ob sich das Muster eventuell "erweitern" läßt. Erweiterbar wäre zum Beispiel der Kanidat x. Man könnte ja auch nach einer Gruppe von Kandidaten suchen. Erweiterbar wäre ferner die Basis der Methode. Warum sich auf zwei Fundstellen pro Zeile beschränken, wie es die Regel vorschreibt? Vielleicht wäre es interessant, mit drei oder noch mehr Fundstellen zu operieren.

Klingt im ersten Moment interessant, dürfte aber am Ende ein naiver Gedankengang sein. Die Kandidatengruppe des erweiterten x, ließe sich auf kleinere Gruppen mit weniger komplexen Mustern zurückführen, bis man schließlich wieder bei einzelnen Kandidaten angelangt wäre.
Für das Muster mit der höheren Basis gilt das gleiche. Stellen Sie sich als kleinste denkbare Variante - äquivalent zum X-Flügel - ein Muster aus 3 Zeilen und 3 Spalten vor, das 9 gleichmäßig verteilte Fundstellen für x aufweist. Jetzt stellen Sie sich vor, wie Sie für die erste Spalte eine Wahl treffen. Dann bleibt für die restlichen 2 Zeilen und Spalten ein Muster mit 2 Fundstellen übrig - und zwar der X-Flügel, der von vorneherein in dem größeren Muster eingebettet war.
Die höhere Basis läßt sich also auch auf weniger komplexe Muster mit niedrigerer Basis zurückführen.
Erinnern Sie sich an Beweisführung in der Mathematik, an die vollständige Induktion vielleicht? Das ist das Phänomen, von dem hier die Rede ist.
Obwohl es sich gewissermaßen um das genaue Gegenteil handelt. Methodisch gesehen torpedieren die inliegenden, weniger komplexen Muster von vorneherein die Existenz solcher mit höherer Basis.

Spezialfälle der mehrdimensionalen Gruppe:

  • Der X-Flügel ist ein Spezialfall, weil alle Fundstellen pro Zeile alle Spalten des Musters abdecken.
  • Der Schwertfisch ist ein Spezialfall, weil die Verteilung der Fundstellen auf die Spalten automatisch regelmäßig ist.
  • Die Qualle ist schließlich der erste "normale" Vertreter der Familie (und alle höheren Ordnungen ohnehin). Das bedeutet, sie kann in unregelmäßige Verteilung der Fundstellen auf die Spalten haben. In unregelmäßiger Form ist sie zwar gültig, aber auch unnötig.

(Anmerkung: Stellt sich zu guter Letzt noch die Frage, warum die Regelmäßigkeit der Verteilung nicht gleich ins Regularium aufnehmen, wenn unregelmäßige Quallen unnötig sind? Könnte man schon machen, aber warum? Das Regularium soll doch nur das Muster eindeutig beschreiben und nicht beurteilen, ob womöglich leichtere Wege zur Verfügung stehen.)

siehe auch: X-Flügel, Schwerfisch, Qualle, Qualle im Hexadoku

 

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